弹性支座上的连续梁

在工程结构中常会遇到支承在弹性支座上的连续梁。在载荷的作用下，各个支座有弹性伸长或缩短，即支点处产生竖直位移。一般考虑支点的伸缩量与支点反力的大小成正比。例如在以连续梁作为纵梁，而此纵梁又支承在具有弹性的横梁上；连续梁浮桥支承在浮动桥墩上；矿山用振动放矿机的机架支承在橡胶弹簧上等。在必须作较精确计算时，就要按弹性支座来计算。设图1a所示的连续梁支承在弹性支座上，其各跨的截面相同，跨度相等，支座的柔度系数C(即弹簧在单位力作用下的伸缩量)相等

图1

写出在支点n之上的截面内冗力M_n作用方向内的相对角位移等于零的正则方程式θ_n＝0。这个相对角位移包括两部分。第一部分是在刚性支承的连续梁中，冗力M_n方向内的相对角位移。它包括以下几项：

这一部分的相对角位移仅受到支点n左右两跨上的冗力与载荷的影响

其中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　式(1)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　式(2)

式中，W_n与W_n+1分别为在跨度l_n与l_n+1内由于载荷所引起的力矩图面积；a_n与b_n+1分别为这两个力矩图面积的重心至各该跨度的左支点与右支点的距离

式(1)表示将W_n视作在跨度l_n内的虚梁载荷，跨度l_n内的右端虚梁反力；式(2)表示将W_n+1视作为跨度l_n+1内的虚梁载荷，跨度l_n+1内左端的虚梁反力

在冗力M_n作用方向内所产生的相对角位移数值的第二部分，是由于支点的竖直位移所引起的。冗力与载荷不仅直接产生在M_n方向内的相对角位

移，并且能够使弹簧伸缩而间接地影响到θ_n的数值。图1b表示在单位力作用下，基本结构的支点位移与受力情形。在支点n-1处的反力

为1/l，它使该处的弹簧压缩C/l的数值，从而使跨度l_n转动，因此在M_n作用方向内产生一相对角位移。图1c表示在单位力作用下，基本结构的支点位移与受力情形；由此可得，在M_n作用方向内的相对角位移。由图1d可知，在单位力作用下，M_n作用方向内的相对角位移为。至于在与作用下，支点位移对θ的影响是与支点n相对称的，它们的数值分别为与。图1e表示在载荷作用下，基本结构的支点位移与受力情形，其中R_n-1、R_n、R_n+1分别为在载荷作用下支点n-1、n、n+1的简支梁反力；它

们使各该支点处的弹簧缩短CR_n-1、CR_n、CR_n+1，从而在M_n作用方向内产生一相对角位移。由上述可知，第二部分的相对角

位移受到支点n左右四个跨度上的冗力与载荷的影响。其他跨度上的冗力与载荷并不影响θ_n

以上两部分相对角位移之和，即为θ_n的总值，按诸力法原理，它应该等于零。故得：

　　　　　　　　　　　　式(3)

 式(4)

在第_n个支点处，弹性支承的下沉量Δ_n为：

　　　　　　　　　　　　　　　　式(5)

由上两公式可知，在α＝0的情况下，式(4)与刚性支承的连续梁三弯矩方程式相符合；而由式(5)得Δ_n＝0

例　图2a为一搁置于橡胶块A、B、C上的振动放矿机槽台的载荷分布图。图2b为槽台构件组合截面的基本结构参数，求弹性支座上连续梁的支点反力A、B、C。反力求出后则整个构体的强度皆可设计

图2

载荷：

集中力　　P_B＝14050N；

均布力　　Q₁＝298.5N/cm，Q₂＝153.6N/cm，Q₃＝142.1N/cm，Q₄＝76.6N/cm，Q₅＝12.0N/cm

图中尺寸　A₂＝67cm，L_A＝60cm，L₅＝0，L₁＝73cm，L₂＝74cm，L₃＝73cm，H₁＝1cm，B₂＝86cm。槽钢截面参数　惯性矩J₁＝2×11.872＝23.744cm⁴，面积F₁＝2×8.44＝16.88cm²，截面形心至x轴距离y₁＝1.36cm。槽板截面参数　惯性矩J₂＝B₂H³₁/12＝7.167cm⁴，面积F₂＝B₂H₁＝86cm²，截面形心至x轴距离y₂＝4.5cm

本问题的求解不能直接套用上述的五弯矩方程。因为五弯矩方程提供的是等跨度l_n-1＝l_n＝l_n+1的计算公式。本题为不等跨的弹性支承连续梁。

因此式(3)需作修改。主要是对在多余力M_n作用方向内所产生的相对角位移数值的第二部分，即式(3)中带部分的各值进行修改：由图1b可知，

在单位力作用下，在支点的反力为1/l_n-1，它使该弹簧变形为C/l_n-1，因此，使l_n跨转动，在M_n作用方向内产生一相对角位移：；由图1c可知，在单位力作用下，M_n方向内产生的相对角位移为；由图1d可知，在单位力作用下，在M_n作用方向产生的相对角位移为；在和作用下，支点位移对M_n作用方向产生的角位移参照上面的式子(即，所产生的角位移公式，l_n与l_n+1替换，l_n+2替换l_n-1)分别为：和

由此，对比式(3)，可得不等跨弹性支承连续梁的五弯矩方程：

本题为三支点梁，因而M_n-2＝0，M_n+2＝0，上式可大为简化，并令R_A、R_B、R_C表示R_n-1、R_n、R_n+1，M_A、M_B、M_C表示M_n-1、M_n、M_n+1，L₁、L₂表示l_n、l_n+1，则可得

　　　　　　　式(6)

该方程中首先要推求槽台构件按简支梁计算的支座反力(见图2a)：

式中，A₃为梯形载荷Q₂、Q₃的重心距离(见图2)，

将已知数据代入，可求得：

R_A＝11878N；R_B＝25247N；R_C＝8084N

然后，还要求出梁上虚载荷在B点反力，由式(1)及式(2)，按L₂跨内载荷引起的力矩图面积载荷对B的虚反力，及按L₁跨内载荷引起的力矩图载荷对B点的虚反力(可分别查图表)

对L₂跨：

对L₁跨：按图2a，梁上载荷分四部分分别查表：①局部均布载荷Q₁；②局部均布载荷Q₃；③局部三角形载荷(Q₂-Q₃)；④集中力P_B为简化起见，令a＝L_A-L₅，b＝L₁+L₅-L_A，a₁＝A₂-L₅；b₁＝L₁+L₅-A₂，α＝a/L₁，β＝b/L₁，α₁＝a₁/L₁，查表得：

将已知数据代入后，得

从图2可看出，只有三个支点，真实弯矩M_A、M_C可直接求得：

由式(6)即可求得M_B：

支座反力A、B、C为：

真实反力和弯矩都已求出，槽台强度校核即可进行，橡胶块变形也可算得

对于每侧有5个橡胶块的槽台计算方法同上。但必须得到中间三个支点的弯矩方程，联立求解3个方程即可求得三个弯矩，然后再求出5个支点的反力

说明：这种计算方法对于槽台强度校核来说，并不是主要的，因为其机架梁(槽台)的强度是足够的，即使用简支梁校核也会满足强度要求。关键的问题是，用这种方法才能确定弹性支座(这里为橡胶块)的受力状况