示例

例　求解如下图所示的系统，该机的非线性振动方程为：

某自同步式振动机的力学模型

式中

式中　m_m——物料质量，kg；

μ——摩擦因数；

Δt——冲击时间，s，Δt→0；

——物料抛掷运动结束，落至机体瞬时速度，m/s；

——物料落至机体瞬时机体速度，m/s；

φ_d——物料做抛掷运动的抛始角，rad；

φ_z——物料做抛掷运动终止相角，称为抛止角，rad；

δ——振动方向角；

φ₁——物料在机体槽台上与槽台开始作等速运动时的相角；

φ₂——物料在机体槽台上与槽台开始有相对运动时的相角；

φ₃——物料在机体槽台上与槽台停止有相对运动时的相角；此时物料在机体槽台上与槽台又开始作等速运动，相当于又一次的相角φ₁。(φ₂-φ₁)为物料与槽台作一次等速运动的相角差，(φ₃-φ₂)为物料与槽台作一次相对运动的相角差，在机体槽台的一个运动循环中，物料未跳起之前可能有几个这样的相角差

该机做直线振动，因此，y＝ssinδ　　x＝scosδ

解　非线性方程的等效线性方程为：

非线性方程的一次近似解为：

对小阻尼振动机来说α_y≈α_x，所以，φ_y≈φ_x＝φ，推求非线性作用力一次谐波傅里叶系数，代入非线性方程(在忽略非线性作用力的二次以上谐波项，过程从略)可求得：

因而，物料的等效质量系数和等效阻尼系数为：

将振动y和x合成为振动s后的等效线性方程为：

该方程的一次近似解：s＝A_ssin(ωt-α_s)