机械工程中的非线性振动问题

在对一个振动系统进行研究时，一般情况下其阻尼力和弹性力有时可线性化，但有时则必须考虑其非线性性质。在工程实际问题中也存在着一些不能线性化的系统。在机械系统中非线性力有非线性势力、非线性阻尼力和混合型非线性力

下表为机械工程中的非线性振动问题的典型例子

类型

力学模型及非线性力曲线

运动微分方程及非线性力表达式

非

线

性

恢

复

力

单摆运动微分方程：，当摆角θ较大时，将sinθ展成幂级数，即

如果只取前两项，则非线性运动微分方程：

这种恢复力的系数随着角位移幅值增大而减小的性质，称为“软特性”

非线性运动微分方程：

其弹性恢复力：

这里K' 为软弹簧刚度，K" 为两个硬弹簧的刚度和。这种弹性恢复力为分段线性的非线性恢复力，这种弹性恢复力的系数随着位移幅值的增长而分段(或连续)增长的性质称为“硬特性”

非

线

性

阻

力

非线性运动微分方程：

库仑(干摩擦)阻尼：

μ——摩擦因数；m——质量，kg

非

线

性

惯

性

力

振动落砂机上质量为m_m的铸件做抛掷运动时，系统的运动微分方程：

其分段线性的非线性惯性力为：

φ_a——m_m的抛始角；φ_d＝φ_a+2π；φ_c-φ_b＝ωΔt；

Δt——冲击时间(很短)；

——分别为m_m和m的运动速度

注：1．严格说，振动系统都是非线性的，只有在微幅振动时系统才能被简化为线性系统，上述各例微幅振动分别在如下的范围时，可简化为线性计算：-φ₀≤θ₀≤φ₀(θ＝θ₀sinωt，sinφ₀≈φ₀)；-e≤B≤e[x＝Bsin(ωt-ψ)]；-A₀≤

A≤A₀[x＝Asin(ωt-ψ)，ωA₀≈A₀]；。

当振动幅值超出上述范围，则系统产生的振动为非线性振动。

2．θ₀、B、A—各自的振幅。