多自由度系统自由振动模型参数及其特性

序号

项目

二自由度系统

n自由度系统

1

力学模型

2

运动微

分方程

M——质量矩阵

K——刚度矩阵

K_ij——j处产生单位位移(其他处位移为0)时，i点所需作用力的大小

3

特解

4

特征方程

5

固有角

频率

一阶固有角频率：

二阶固有角频率：

用数值计算方法求特征方程的n个特征值，并由小到大排列，分别称为一阶、二阶、……、n阶固有角频率。通常前一、二、三阶的振动频率在总振动中较为重要

6

振幅联

立方程

7

振幅比及

振型矢量

一阶振幅比：

一阶主振型(同相位)

二阶振幅比：

二阶主振型(反相位)

将一阶固有角频率ω_n1代入振幅联立方程得一阶振型矢量x_M1，同理可得x_M2、…、x_Mn。也可用数值计算方法和固有角频率同时计算出来振型矩阵：

振型矩阵由n阶振型矢量组成n×n阶矩阵正则振型矩阵：

8

振型矢量

的正交性

一阶振型矢量和二阶振型矢量关于质量矩阵成正交，关于刚度矩阵也成正交

i阶振型矢量和j阶振型矢量关于质量矩阵成正交，关于刚度矩阵也成正交

9

能量关系

不同阶振型矢量的动能和势能不能相互转换，只有同阶振型矢量间的动能和势能才能相互转换

注：1．自由振动响应只在机械系统的启动和停机过程中存在，而且持续时间又较短，所以一般振动分析均不考虑自由振动响应。

2．n自由度系统的特征值(固有角频率)和特征矢量(振型矢量)的数值计算可用矩阵迭代法、QR法、雅可比法等计算程序进行计算。