矩阵运算及其性质

名称

运　 算　 式

说明及运算性质

矩

阵

加

减

简

例

(1)矩阵加减时对应位置的元素相加减

(2)同阶矩阵才能相加减

(3)运算性质

A+B＝B+A交换律

(A+B)+C＝A+(B+C)结合律

一

般

形

式

c_ij＝a_ij±b_ij

数

乘

矩

阵

简

例

(1)数乘矩阵时，该数乘矩阵的每一个元素

(2)运算性质

kA＝Ak

k(A+B)＝kA+kB分配分律

一

般

形

式

c_ij＝ka_ij

矩

阵

相

乘

简

例

(1)矩阵相乘时乘积的元素c_ij等于左矩阵的第i行和右矩阵的第j列的对应元素的乘积之和

(2)左矩阵的列数等于右矩阵的行数时才能相乘

(3)运算性质

(AB)C＝A(BC)结合律

A(B+C)＝AB+AC

(B+C)A＝BA+CA

注意，一般AB≠BA

一

般

形

式

方

阵

的

幂

简

例

(1)方阵的幂是同一方阵的连乘积

(2)a₀Aⁿ+a₁A^n-1+…+a_nI叫做方阵多项式

(3)运算性质

A ^pA ^q＝A ^p+q

(A ^p)^q＝A ^pq

一

般

形

式

A⁰＝I

A^p＝

矩

阵

微

分

简

例

矩阵微分即对矩阵的每一个元素求微分

一

般

形

式

若A的元素是t的函数a_ij＝a_ij(t)，则

矩

阵

积

分

简

例

矩阵积分即矩阵的每一个元素积分

例如

一

般

形

式

若A的元素是t的函数a_ij＝a_ij(t)，则