二阶微分方程

方　 程　 类　 型

求 解 方 法 及 通 解

1.常系数二阶齐次方程

式中　　 a，b为实常数

令y＝e^λx，代入原方程，得到特征方程

λ²+aλ+b＝0

其根为λ₁，λ₂

(1)λ₁≠λ₂(实根)　 通解　 y＝C₁e^λ₁^x+C₂e^λ₂^x　　　 C₁，C₂是任意常数(下同)

(2)λ₁＝λ₂　 通解　 y＝(C₁+C₂x)e^λ₁^x

(3)λ₁＝a+βi，λ₂＝a-βi　 通解　 y＝e^ax(C₁cosβx+C₂sinβx)

2.常系数二阶非齐次方程

式中　　 a，b为常数

f(x)≠0

通解　y＝y_c+y_p

式中　y_c为对应的齐次方程的通解，求解方法见型1。y_p为方程的特解，可用待定系数法求得

(1)如f(x)＝P_n(x)e^λx，式中P_n(x)为n次多项式

特解　(a) λ不是特征根　　 y_p＝Q_n(x)e^λx

(b) λ是单特征根　　 y_p＝xQ_n(x)e^λx

(c) λ是重特征根　　 y_p＝x²Q_n(x)e^λx

(2)如f(x)＝P_n(x)，相当于(1)中λ＝0，求解方法与(1)相同

(3)如f(x)＝ke^λx，相当于(1)中P_n(x)＝k，求解方法与(1)相同，(k，λ为常数)

(4)如f(x)＝ke^axcosβx，le^axsinβx或e^ax(kcosβx+lsinβx)

式中　 k，l，a，β为常数

特解　(a) a±βi不是特征根

y_p＝e^ax(Acosβx+βsinβx)

(b) a±βi是特征根

y_p＝xe^ax(Acosβx+βsinβx)

式中　 A，B为待定系数