轨迹综合

四杆机构的轨迹综合，是使所设计的四杆机构的连杆某一点能实现某一已知轨迹。设计方法有以下几种

(1)用实验法求解，如图1已知要求实现的轨迹为mm，可先选定一点A为原动件的铰链中心，然后选定曲柄AB及连杆BM的长度。令

式中  ρ' 为A点至轨迹mm的最长距离，ρ为最短距离

令连杆上M点在已知轨迹mm上运动，则B点在以A为圆心、AB为半径的圆周上移动，这时固结在连杆BM上的其他点如C'、C"、C"'点也各绘出其一定形状的轨迹。在这些轨迹中找出一与圆或圆弧相近似的轨迹，则形成此轨迹的点即为连杆上动铰链中心C，此轨迹的圆心即作为机架上固定铰链中心D，ABCD即为实现已知轨迹mm的四杆机构

如果点的轨迹不是圆弧而是一直线，则可得曲柄滑块机构

图1

(2)在工程上已有现成的连杆轨迹图谱，设计者可以查阅图谱中相近的一条轨迹定出机构的初步尺寸。近年来出现了利用计算机按电子图谱设计的方法，但尚未推广

(3)在所要求实现的轨迹上选择3个或4个点位，用表已知连杆上点的位置综合铰链四杆机构中方法进行实现此种点位的四杆机构尺寸设计，设计所得的四杆机构连杆上某一点的轨迹有若干个位置能精确实现所设计的轨迹，其余各点则是近似的实现

(4)当要求较多点(最多不超过9个)实现给定轨迹时，宜采用解析法进行设计。解析法有位移矩阵法和形封闭法等

图2

图2a所示四杆机构ABCD的连杆刚体以动铰链B、C与连架杆AB和CD相连，而连架杆则以转动副或移动副(图2b)相连，B、C在固定坐标系xOy中的轨迹为圆或直线，而连杆刚体上的点在xOy平面上的轨迹称为连杆曲线LL，不同的点有不同的轨迹。在两个连架杆和连杆上各设置一个坐标系(动坐标系)，则与连架杆相固连的动坐标系只能作定点转动或定向(沿导路)移动，而与连杆相固连的动坐标系(uP_iυ)则是作平面复合运动(即坐标原点P_i是运动的)；与机架固连的坐标系是固定坐标系xOy(O不一定与定铰A重合)；铰链B、C与连杆点P在各自的动坐标系中的位置是固定不变的，然而它们在固定坐标xOy中的位置确是时变的；B相对A、C相对D以及P相对B、C在各自动坐标系中的相对位置和距离都是固定不变的，而且连杆上B、C点和连架杆上B、C点在固定坐标系中同一时刻的坐标值必须是相等的。按给定轨迹要求设计四杆机构时，连杆点P在固定坐标系中坐标值系列(x_Pi，y_Pi)是给定的，为了简化计算，在连杆上的动坐标系原点即取为P_i，则连杆上给定点Q_i的坐标(u_Q、υ_Q为动系坐标，x_Qi、y_Qi为定系坐标)可表示为：

式中，θ_i表示动坐标u与x坐标之间的夹角，它表示连杆刚体的姿态；(x_Qi、y_Qi)和(u_Q、υ_Q)表示连杆点Q在定坐标和动坐标中的位置；x_Qi、y_Qi和θ_i三者合称连杆刚体的位姿

取定连杆刚体的第一个位姿(x_Q1，y_Q1，θ₁，x_P1，y_P1)，可得：

u_Q＝(x_Q1-x_P1)cosθ₁+(y_Q1-y_P1)sinθ₁

υ_Q＝(y_Q1-y_P1)sinθ₁-(x_Q1-x_P1)cosθ₁

再将(u_Q、υ_Q)代入(式1)可得：

x_Qi＝x_Pi+x_Q1cosθ_i1-x_P1cosθ_i1+y_P1sinθ_i1-y_Q1sinθ_i1　　　　　　　　　　　　（式2）

y_Qi＝y_Pi+x_Q1sinθ_i1-x_P1sinθ_i1-y_P1cosθ_i1+y_Q1cosθ_i1

式中，θ_i1＝θ_i-θ₁为刚体由位姿1到达位姿i时的相对转角；有下标1和i的参数分别表示位姿1和i时的参数值；[D _i1]_P为以P₁为原点的位移矩阵，此位移矩阵可用于任何作平面运动的刚体，例如用于连架杆则可以A₁(或D₁)取代P₁，这时θ_i1应以φ_i1取代；如构件作平移(如滑块)则只需令θ_i1＝0

对以转动副和机架相连的连架杆，有以下定杆长约束方程：

对以移动副和机架相连的连架杆(滑块)，有以下定向约束方程：

y_{C i}-y_C1＝(x_{C i}-x_C1)tanα　　　　　　i＝2、3、4、…　　　　　　　(式5)

式中，α是滑块导路与固定坐标系的x轴之间的夹角，且为定值

由于连杆上的动铰链B、C与连架杆上的动铰链B、C在固定坐标系xOy中应该具有相同的值，所以同一连杆上的B、C两点的位移矩阵中的θ_i1、x_P1、x_Pi、y_P1和y_Pi都是相同的。基于以上分析，将(式2)中的(x_B1＝ x_Qi、y_B1＝ y_Qi)代入(式3)中，经整理后可以得到非线性的方程组：

杆AB：　　　　　A_i1cosθ_i1+B_i1sinθ_i1＝G_i1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(式6)

A_i1＝(x_B1-x_P1)(x_Pi-x_A)+(y_B1-y_P1)(y_Pi-y_A)

B_i1＝(x_B1-x_P1)(y_Pi-y_A)-(y_B1-y_P1)(y_Pi-x_A)

G_i1＝x_B1(x_P1-x_A)+y_B1(y_P1-y_A)+x_Pix_A+y_Piy_A-0.5()

i＝2、3、…、n

同理，杆CD：　　C_i1cosθ_i1+D_i1sinθ_i1＝K_i1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(式7)

C_i1＝(x_C1-x_P1)(x_Pi-x_D)+(y_C1-y_P1)(y_Pi-y_D)

D_i1＝(x_C1-x_P1)(y_Pi-y_D)-(y_C1-y_P1)(x_Pi-x_D)

K_i1＝x_C1(x_P1-x_D)+y_C1(x_P1-y_D)+y_Pix_D+y_Piy_D-0.5()

i＝2、3、4、…、n

滑块C：　　　　E_i1cosθ_i1+F_i1sinθ_i1＝H_i1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(式8)

E_i1＝-(x_C1-x_P1)tanα+(y_C1-y_P1)

E_i1＝(y_C1-y_P1)tanα+(x_C1-y_P1)

H_i1＝-(x_C1-x_Pi)tanα+(y_C1-y_Pi)

i＝2、3、4、…、n

对全铰链四杆机构，联立(式6)和(式7)得：

(式10)中各系数均不包含连杆的姿态角θ_i1，故(式10)是按给定连杆点轨迹(不要求姿态角θ)设计全铰链四杆机构参数的方程式。当给定点位数为n时，方程数为n-1；而机构待定参数为8个，即铰链A、B、C、D的8个坐标值。当方程可解时，应满足n-1＝8，即n＝9，故用全铰链四杆机构实现给定轨迹时，最多能精确实现轨迹上的9个点。其余点只能近似实现，可以用优化的方法选择精确实现的9个点，使误差最小。当给定点倍数n小于9时，可列方程数少于待定参数，这时可预先选定的参数个数为(9-n)个，也就是说给定9个位置时无参数可供预选

设计时，按给定的x_Pi、y_Pi(i＝1、2、…、n)代入(式10)中的系数A_i1、B_i1、C_i1、D_i1、G_i1和K_i1，得到(n-1)个非线性方程式，从而解得(n-1)个机构参数。例如n＝9时为8个机构参数，n＝5时为4个机构参数。再将求得的机构参数值代入(式9)便求出了连杆的姿态角θ_i1。应该指出：上述非线性方程组求解时，随着精确点数的增多，求解也越困难，而且可能无实解，或即使有解，也可能因杆长比或传动角等不合理而无实用价值。所以一般常按4～6个精确点设计，这时有3～5个参数可以预选，因而有无限多个解，有利于机构多目标优化的设计

按给定轨迹设计曲柄滑块机构时，待求参数是铰链A、B、C的6个坐标值和导路的方向角α，共7个待求参数。这时能够精确实现的点位数为8个(即n-1＝7，n＝8)。所用的方程是(式3)、(式5)或(式6)、(式8)；这时，(式9)、(式10)应变为(式11)、(式12)：

当设计连杆位置给定(即θ_i1给定)的刚体引导机构时，所用方程及待求参数均同前；对铰链四杆机构n＝5，对曲柄滑块机构n＝4

当按给定轨迹上一系列有序点P_i及其对应的曲柄转角φ_i的要求，设计四杆机构时，所用方程及待求参数均同前；对铰链四杆机构n＝5，对曲柄滑块机构n＝4。而且(式2)中的位移矩阵[D_i1]_P应改为[D_i1]_A，其元素中(x_Pi，y_Pi)、(x_P1，y_P1)均用(x_A，y_A)取代，将θ_i1改成φ_i1即可

例　设计一铰链四杆机构，实现图3所示轨迹上5个点P₁(1，1)、P₂(2，0.5)、P₃(3，1.5)、P₄(2，2)和P₅(1.5，1.9)

解　1.因已知点位数n＝5，故可列设计方程数为(5-1)＝4，待求参数为8，方程数不够，因而需预选参数，可预选参数的个数为(9-n)＝(9-5)＝4，先选定A(2.1，0.6)、D(1.5，4.2)

2.将(x_B1，y_B1)、(x_C1，y_C1)、(x_A，y_A)、(x_D，y_D)、(x_Pi，y_Pi)代入(式6)、(式7)和(式10)得到四个非线性方程式，求得四个参数及四根杆的长度：

图3

或按(式9)求出θ_i1的值

应该指出：由于预选的A、D坐标值不同，所求得的机构参数也不相同