轴系的特征值问题

通常轴系支承在同一水平线上，由于转子的重力作用，未转动时，转轴发生了弯曲静变形，转动时，这种弯曲变形有可能加大。实际上当转子以ω的角速度回转时，由于不平衡质量激励，轴系只能做同步正向涡动，即圆盘相对于轴线弯曲平面的角速度(W-ω)为零，这种状态下，转轴不承受交变弯矩，轴材料内阻不起作用，轴系的运动微分方程就是轴系的弯曲振动微分方程，轴系的临界转速问题即为轴系弯曲振动的特征值问题

单元受力分析

为计算轴系的临界转速，首先应将轴系按前节方法转化成为质量离散化的有限单元模型。将各质量单元(圆盘)和梁(转轴)单元自左至右编号，则有m_i、I_i、I_pi(i＝1，2，…，n)和l_i、EJ_i、α_iGA_i(i＝1，2，…，n-1)；各支座自左至右编号，则有：K_pj、m_bj、K_bj(j＝1，2，…，l)；支座轴颈中心编号用数组S(j)表示，对于l＜n的系统，轴颈中心编号同有支座作用的质点编号是一致的，它是联系i和j的桥梁。现对第i个轴段进行分析，单元两端面的挠度y和转角θ与上图所示弯矩M和剪力Q存在下列关系：

　　　　　　　　　　　　式(1)

式中

α_i为与截面形状有关的因子，对于实心圆轴α_i＝0.886，A_i为截面积，G为切变模量

再对第i个圆盘进行分析，当轴以ω的角速度作同步正向涡动时，由上图所示的第i个圆盘得：

K_pj为第j个支座的油膜刚度，y_bj为第j个支座质量m_j的位移。为使同符号统一，将ω改为ω_n，第i个单元的特征值方程为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　式(2)

式中

　　　　　　　　　　　　　　式(3)

式中

　　　　　　　　式(4)

如果第i个圆盘没有支承，则y_bj，K_pj，K_bj，m_bj均可去掉，此时K_Mi为6×1阶列阵，m_i和K_i为2×6阶矩阵。此处υ_i定义参阅式(1)及说明

以上只是对i单元的分析，对其他各单元的分析可得到类似的式(2)及其相应的式(3)~式(4)。将各单元的公式进行组合，就可得到轴系的(2n+1)个自由度的特征值方程，求解之，就得到ω²_n的(2n+1)个解。特征值ω²_n并不完全为正实数，除去负数，只有ω²_n为正实数的特征值的平方根才是各阶同步正向涡动的临界角速度。由式(1)换算为临界转速

以上只可能用计算机求解。运用矩阵迭代法、QR法等求解(已有现成的软件)