单自由度系统自由振动模型参数及响应

序号

项目

无阻尼系统

线性阻尼系统

1

力学模型

2

运动微分方程

m——质量，kg；K——刚度，N/m；C——黏性阻尼系数，N·s/m

3

特解

4

特征方程

　S——特征值，若S为复数才能产生振动；ω_n——固有角频率，rad/s；α ——衰减系数，1/s

5

固有角频率

单自由度系统的固有角频率见表单自由度系统的固有角频率

ω_d——有阻尼时固有角频率，rad/s

C_c——临界阻尼，C_c＝2mω_n

当ζ＝0.05时，ω_d＝0.99875ω_n

当ζ＝0.2时，ω_d＝0.98ω_n

所以ω_d≈ω_n(小阻尼α＜ω_n时)

6

对初始条件(当t＝0时，x＝x₀，)的振动响应

该振动如左下图所示的衰减振动，常用下面减幅系数来衡量。减幅系数(相邻两振幅比)：

对数减幅系数：

当ζ＝0.05时，η＝1.37，A₂＝0.73A₁，一个周期振幅衰减27%，振幅衰减显著，不能忽略。所以x≈Ae^-αtsin(ω_nt+φ₀)(小阻尼α＜ω_n时)

当α＝ω_n(临界阻尼)或α＞ω_n(过阻尼)时，系统不能产生振动，只能产生向静平衡位置的缓慢蠕动

见本表注

7

振动过程中的能量关系

动能和势能相互转换。当m运动到最大位移处，能量全部转换为势能。当m运动到静平衡位置时，能量全部转换为动能。即：

动能和势能相互转换，但由于阻尼消耗能量，所以，其振动为减幅振动

结论

(1)任何实际振动系统无论阻尼多么小，总是一个有阻尼系统

(2)当机械系统为小阻尼时，单自由度系统的固有角频率可以用无阻尼振动系统的固有角频率来代替，即。同理，多自由度小阻尼系统的固有角频率和振型矢量也可用无阻尼系统的固有角频率和

振型矢量来代替

(3)机械系统在自由振动过程中，动能和势能总是在相互转换，但由于实际系统存在阻尼，消耗系统的能量，所以，自由振动不能维持恒幅振动，其振动的位移表达式x≈Ae^-αt_sin(ω_nt+φ₀)

式中，，该振动经过足够长的时间总会衰减成为零