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积分应用举例(一) |
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名 称 |
定义及简单情况时公式 |
一 般 情 况 |
图 示 |
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微 分 式 |
积 分 式 |
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变速直线运动的路程s |
s＝υt υ——常量 |
ds＝υ(t)dt t1≤t≤t2 |
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液体静压力F |
F＝pA p——压力，为常量 A——受压面积 F——总压力 |
dF＝p(x)dA＝wxydx w——流体重度 p(x)＝wx a≤x≤b dA＝ydx |
式中 y＝f(x) |
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变力F作的功W |
W＝F" F——常力 r——直线位移 |
dW＝F(x)dx 设力F方向恒定，且与位移方向一致，在一条直线上 |
W为由a位移到b时所作的功 |
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力场对质点位移所作的功W |
dW＝F(x，y，z)dr ＝Xdx+Ydy+Zdz 其中 力场F＝X(x，y，z)i +Y(x，y，z)j +Z(x，y，z)k |
位移沿曲线C，由A到B |
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非 均 匀 物 体 的 质 量 m |
细线AB的质量 |
m＝μs μ——密度，常数(下同)； s——AB的长度 |
dm＝μ(x)ds μ(x)——线密度 |
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薄板D的质量 |
m＝μA A——D的面积 |
dm＝μ(x，y)dA μ(x，y)——面密度 |
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物体Ω的质量 |
m＝μV V——Ω的体积 |
dm＝μ(x，y，z)dV μ(x，y，z)——体密度 |
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静 矩 M |
曲线AB的静矩 |
质量为m的质点，对轴l的静力矩Ml为 Ml＝rm 其中r为该质点到轴的距离 |
dMx＝yds dMy＝xds |
对x轴的静矩：
对y轴的静矩：
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平面图形D的静矩 |
dMx＝ydxdy dMy＝xdxdy |
对x轴的静矩：
对y轴的静矩：
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立体Ω的静矩 |
质量为m的质点对平面π的静力矩Mπ为 Mπ＝rm 其中r为该质点到平面π的距离 |
dMyz＝xdxdydz dMzx＝ydxdydz dMxy＝zdxdydz |
对yOz平面的静矩：
对xOz平面的静矩：
对xOy平面的静矩：
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惯 矩 I |
平面图形D的惯矩 |
质量为m的质点对轴 l的惯矩Il为 Il＝r2m 其中r为该质点到轴 l的距离 |
dIx＝y2dxdy dIy＝x2dxdy |
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立体Ω的惯矩 |
dIx＝(y2+z2)dxdydz dIy＝(x2+z2)dxdydz dIz＝(x2+y2)dxdydz |
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电场通过曲面片S的通量Q |
Q＝E·S 其中E为常场强矢量，S为以N为法线，面积为S的平面片 |
dQ＝E·dS E为变场强，dS为以N为法线的面积为dS的微分曲面片，可以表为 dS＝dydzi+dzdxj+dxdyk |
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注：1.假设图形有密度μ＝1的有质量的图形的静力矩叫做图形的静矩。 2.假设图形有密度μ＝1的有质量的图形的惯性矩叫做图形的惯矩。 |
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